ＨＡＬＦ ＡＤＤＥＲ と ＦＵＬＬ　ＡＤＤＥＲ

１．はじめに
ここでは、コンピュータ内でのたし算の仕組みを簡単に説明します。まず、予め注意すべきことは、機械の中
では二進法で計算が進められるということです。すなわち十進法の２や３は、各々エンコーダー
という回路によって各々二進法の１０，１１に変換され、その上で１０＋１１＝１０１と二進法
の加算が行われるのです。そして、この１０１という答えが、デコーダーという回路によって
十進法の５に変換され、表示されることになります。しかし、今はエンコーダーやデコーダーの
回路は省略し、最も中心となる二進法の加算回路の部分についてのみ説明します。

２．Half Adder
Half Adder（半加算器）とは、一桁の加算を行う回路です。Half Adderは、２つのものを加えるために２つの
入力部分Ｘ，Ｙをもつとともに、その位での和（Sum）Ｓと、場合によっては次の位への桁上げ分
（Carry)Cもあるゆえに、２つの出力部分Ｓ、Ｃをもつ回路です。Half Adderを次の図のように表します。


図１Half Adder


その働きは、Ｘ，Ｙへのあらゆる入力の場合を考えると、次の表のように表すことができます。

表１　X、Y、S、Cの入出力表


このようにしてみると、Ｓ，Ｃは真理関数であり、この表は真理値表としてみることができます。
Ｃは連言Ｘ∧Ｙを表しています。

Ｓは排他的選言（Exclusive Or）と呼ばれ、通常の選言とは
異なります。通常の選言Ｘ∨Ｙは、Ｘ，Ｙが共に１の場合、真とされます。これは例えば、
「Ａ鉄道がストか、Ｂ鉄道がストの場合、学校は休講になる」と言った時に、両鉄道ともにストだった
場合にも学校が休講になるということを表します。しかし、排他的選言は、例えば「お茶またはコー
ヒーをどうぞ」と言った場合、両方を選択することができないように、Ｘ，Ｙがともに１の場合は偽
とみなされます。なお論理式は（Ｘ∧¬Ｙ）∨（¬Ｘ∧Ｙ）となります（注１参照）。
一般に、論理式にはそれに対応するような電気的回路が存在します。というのは、
論理式は∧、∨、¬という結合子からできているわけですが、その各々についてその真理値表を
表しているような電気的回路が考えられるからです。したがって、そうした回路を論理式に
即して組み合わせていけば、論理式に対応する回路も容易につくることができます。そこでまず図２
に、∧に対応するＡＮＤ回路、∨に対応するＯＲ回路、¬に対応するＮＯＴ回路の原理図を示します。





図２　論理回路

AND回路では、Xに入力すると電磁石が働いてそこのスイッチが閉じ、さらにYにも入力すると同様にそこのスイッチが閉じます。スイッチは直列なので、そのとき初めて、出力のZに電流が流れます。OR回路のスイッチは並列になっているので、XかYに入力すれば、Zに電流が流れます。また、NOT回路の場合には逆に、Xに入力するとスイッチが開き、Zに電流が流れなくなります。

これらを利用して、Half Adderの回路を表すと、次のようになります。Eで表されているのはExclusive Or、つまり、（Ｘ∧¬Ｙ）∨（¬Ｘ∧Ｙ）の回路ですが、中身は省略しています。



図３　Half Adderの回路

この回路によって、一桁の加算を行うことができるようになりました。



３．Full Adder
Half Adderだけでは、一桁の加算しか行うことができません。そこで、一般の位を計算する回路
をつくってみましょう。一般の位というのは、例えば２桁目でもよいし、３桁目でもよいということ
です。ここで注意することは、一般の位の計算では、前の桁からの桁上がり（Ｃ）が含まれるという
ことです。たとえば、二進法の１１１＋０１１を考えてみましょう。

　　１１１
＋ ０１１
----------

二桁目を計算しようとするとき、単に１＋１を考えるだけではだめで、一桁目の桁上がりの１
も加算しなくてはなりません（Half Adderでは、この点が考慮されていません）。すなわち、１＋１＋１が
二桁目でなされるべき計算になります。そこで、Full Adderでは、計算する入力部分として、Ｘ，Ｙに加え、
前の桁からの桁上がりＣ’の３つをもつことになります。そして、出力はその桁の和Ｓ（この場合では、
１＋１＋１＝１１なので、一桁目の１がＳとなります）と桁上がりするＣ（この場合では１＋１＋１＝１１の
二桁目の１）となります。これを、上と同様の表で表すと次のようになります。

表２ X、Y、C、S、C'　の入出力表

また、Full Adderは次のように表します。


図４　Full Adder

さて、実際にFull Adderはどのような回路になるのでしょうか。次図がFull Adderを表した回路です。
中にHalf Adderが埋め込まれているのがわかります。


図５ Full Adderの回路

この回路を用いると、一般の位についての加算を行うことができます。ここでは、１１１＋０１１の二桁目の計算を見てみましょう。１１１＋０１１の二桁目の計算は１＋１に加え、一桁目の桁上がりである１を加えなければなりません。
そこで、入力部分Ｘ，Ｙにはそれぞれ１が、Ｃ（前の桁からの桁上がり）にも１が入ります。
一つ目のHalf Adderの出力は、Ｓが０、Ｃが１となります（先の真理値表を見れば、Ｘ，Ｙがともに
１の場合は、Ｓは０、Ｃは１です）。二つ目のHalf Adderの入力は、０と１になり、その出力は真理値表
から１、０となります。１はそのままFull Adderの出力となり、一つ目のHalf Adderと二つ目のHalf Adder
の桁上がりがＯＲ回路を通り、Full Adderの出力Ｃ’となります。ここで、Ｃ’は次の桁への桁上がり
なので、Full Adderを３つつなげれば２桁の加算を行うことができます。

以上のように、最初の位、一般の位を計算する回路ができたので、後はFull Adderを連結すれば、二進法の加算を行う回路が完成します。

次の図は、２＋３、すなわち
１０＋１１を加算する例を示しています。


図６　加算回路